DouKaku?

示そうとしてたんですが、先を越されました。
方針はだいたい同じで (F) までは出たんですが (G) ができなくて……
丁寧に場合分けしていけばよかったんですね。

ところで (G) の別証明を考えていたら雰囲気の違う方法が見つかりました。
a[1] >= 4 は仮定して、二桁の値を含まない解が一意なことを示します。

天下り式ですがとりあえず定義。
b[i] := (i-2)*(a[i]-1)
S := b[3] + b[4] + ... + b[n-1]
S' := S - b[a[1]]

■(F') S = -b[1] = a[1] - 1

Σi*(a[i]-1) = Σa[i] = 2*n から少し計算すると Σb[i] = 0 が出る。
b[0]=b[2]=0 なので b[1] を移項すれば求める式が出る。

■(J) a[a[1]] = 2, S' = 1

(F') に S = S' + b[a[1]] を入れて計算すると S' + (a[1]-2)*(a[a[1]]-2) = 1
a[1] は「1がa[1]個」に現れるので a[a[1]]>=2 であり、また a[1]-2 >= 2 だから
左辺第二項は 0 または 2 以上。さらに S' も非負だから主張が従う。

■(K) i>3, i!=a[1] のとき a[i]=1 であり、また a[3]=2

(J) より S' = 1 となるが、 i>3 なら b[i] は 0 または 2 以上。
したがって b[3]=1, それ以外の i では b[i]=0 でなければならない。

これで a[1], a[2] 以外は確定します。あとは難しくないでしょう。